was ist eine normale mathe beantworten wir im heutigen Beitrag. Also ohne viel Aufhebens, lassen Sie uns eintauchen und mehr darüber herausfinden.

StudyHelp Lernhefte

Themen auf dieser Seite:

  • Sekantengleichung aufstellen
  • Tangente berechnen
  • Normale, Senkrechte bzw. Orthogonale

Sekantengleichung aufstellen

Die Sekante schneidet eine Funktion $f(x)$ in zwei Punkten. Im Sachzusammenhang gesehen beschreibt die Steigung der Sekante die durchschnittliche Änderung in einem Bereich, der durch die Schnittpunkte $P_1$ und $P_2$ der Geraden mit der Funktion gegeben ist.

Zur Erinnerung: $m=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ bzw. $m =frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

Sekante Was ist in der Regel gegeben?

  • Funktion, hier $f(x)=3x^2+1 $
  • zwei Punkte oder 2 $x$-Werte, hier $P_1(-1|f(-1))$, $P_2(2|f(2))$

Vorgehen:

  1. Allgemeine Geradengleichung: $y=mx+b$ – Wir suchen also $m$ und $b$!
  2. Für $m$: Steigung durch zwei Punkte $m=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
  3. Für $b$: $m$ und einen der beiden Punkte in allgemeine Geradengleichung einsetzen.

Für unser Beispiel wird die Sekantengleichung wie folgt berechnet:

begin{align*} y&=m cdot x+b quad textrm{mit} quad m=frac{(3cdot 2^2+1)-(3cdot 1^2+1)}{2-(-1)}=frac{9}{3}=3 textrm{und} P_2(2|13) \ Rightarrow quad 13&= 3 cdot 2 + b quad |-6 quad Leftrightarrow quad b= 7 end{align*}

Die gesuchte Sekantengleichung lautet $y=3x+7$.

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Tangentengleichung aufstellen

Die Tangente berührt eine Funktion $f(x)$ in einem Punkt $P_0$. Die Steigung der Tangente $m_{tan}$ beschreibt die Steigung in einem beliebigen Punkt $x_0$.

Im Sachzusammenhang gesehen beschreibt die Steigung die momentane Änderung.

Zur Erinnerung:

begin{align*} m_{tan}=f'(x_0) end{align*}

Tangente einer Funktion

Was ist in der Regel gegeben?

  • Funktion, hier $f(x)=3x^2+1 $
  • $x$-Wert, hier $P(1/f(1))$

Vorgehen:

  1. Allgemeine Geradengleichung gesucht: $y=m cdot x+b$ – Wir suchen also $m$ und $b$!
  2. Ableitung bestimmen $f'(x)$ , hier $f'(x)=m=6x$
  3. für $y$: $x$-Wert in $f(x)$ einsetzen, hier $f(1)=3 cdot 1^2+1 Rightarrow y=4$
  4. für $m$: $x$-Wert in $f'(x)$ einsetzen, hier $f'(1)=6 cdot 1 Rightarrow m=6$
  5. für $b$: $m$ und $y$ in allgemeine Geradengleichung einsetzen.

Für unser Beispiel folgt:

begin{align*} y&=m cdot x+b \ Leftrightarrow quad 4&= 6 cdot 1 + b \ Leftrightarrow quad 4&=6+b quad |-6 quad Rightarrow quad b= -2 end{align*}

Die gesuchte Tangentengleichung lautet: $y=6x-2$

Normale, Senkrechte bzw. Orthogonale

Die Ableitung einer Funktion $f(x)$ an einem Punkt $P_0$ ist gleich der Steigung der Tangente $m_{tan}$ an diesem Punkt. Die Normale verläuft senkrecht (othogonal) zur Tangente an diesem Berührungspunkt. Ihre Steigung ist der negative Kehrwert der Steigung der Tangente.

Wie wir bereits kennengelernt haben, wird die Steigung der Tangente durch

begin{align*} m_{tan}=f'(x_0) end{align*}

bestimmt. Die Steigung der Normalen lautet demnach:

begin{align*} m_{norm}=-frac{1}{m_{tan}}=-frac{1}{f'(x_0)} end{align*}

Normale einer Funktion

Was ist in der Regel gegeben?

  • Funktion, hier $f(x)=3x^2+1 $
  • $x$-Wert, hier $P(1|f(1))$

Vorgehen:

  1. Allgemeine Geradengleichung gesucht: $y=m cdot x+b$
  2. Ableitung $f'(x)$ und Steigung der Tangente $m_{tan}$ bestimmen, hier $f'(1)=6=m_{tan}$
  3. Steigungen der Normalen bestimmen, hier $m_{norm}=-1/m_{tan}=-1/6$
  4. für $b$: $m_{norm}$ und $P(1|4)$ in Geradengleichung einsetzen

Für unser Beispiel folgt:

begin{align*} y&=m cdot x+b \ Rightarrow quad 4&= -frac{1}{6}cdot 1 + b quad |+frac{1}{6} quad Rightarrow b = frac{25}{6} end{align*}

Die gesuchte Normalengleichung lautet: $y=-frac{1}{6}x+frac{25}{6}$ Ganz wichtig: Es muss immer $m_{tan}cdot m_{norm}=-1$ gelten!

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Top 13 was ist eine normale mathe tổng hợp bởi sale

Tangenten und Normalen

  • Autor: menzelths.github.io
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Normale – abiturma

  • Autor: abiturma.de
  • Einreichungsdatum: 05/15/2022
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  • Zusammenfassung: Titelbild | Normale … Normale. Mathe lernen · Analysis · Tangenten; Normale … Bestimme eine Gleichung der Normalen an GMathe-Abitur …

Tangente, Normale berechnen – 123mathe

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Normalengleichung einfach erklärt – Simpleclub

  • Autor: simpleclub.com
  • Einreichungsdatum: 03/20/2022
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  • Zusammenfassung: Mathematik Blue arrow pointing right … Normalengleichung. Eine Normale ist eine Gerade, die einen Funktionsgraphen in einem Punkt senkrecht schneidet.

Ableitungen Tangente und Normale – Level 1 – Grundlagen – Blatt 2

  • Autor: fit-in-mathe-online.de
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Wozu braucht man eigentlich eine Normale?

  • Autor: gutefrage.net
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A.15.05 | Normale von außen – Mathe-Seite.de

  • Autor: mathe-seite.de
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Normale / Normalengleichung | Mathematik – Welt der BWL

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Normale und Wendenormale – Basiswissen

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Normale – Nachhilfe Oberstufenmathe – was ist wichtig?

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Normalengleichung aufstellen (Anleitung)

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Normale – mathe-lexikon.at

  • Autor: mathe-lexikon.at
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